Với số nguyên dương n, gọi a_{3n - 3} là hệ số của {x^{3n - 3}

86/235

Với số nguyên dương \(n\), gọi \({a_{3n - 3}}\) là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}\). Tìm \(n\) để \({a_{3n - 3}} = 26n\).

\(n = 6\).

\(n = 7\).

\(n = 5\).

\(n = 4\).

Giải thích

Phương pháp giải

Sửu dụng tổ hợp tính \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n},{(x + 2)^n}\)

Giải chi tiết

Ta có:
\({\left( {{x^2} + 1} \right)^n} = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n - 2}} + C_n^2{x^{2n - 4}} + \ldots + C_n^n\)\({(x + 2)^n} = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n - 1}} + {2^2}C_n^2{x^{n - 2}} + \ldots + {2^n}C_n^n\)Ta thấy \(n = 1,n = 2\) không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với \(n \ge 3\) ta có: \({x^{3n - 3}} = {x^{2n}} \cdot {x^{n - 3}} = {x^{2n - 2}} \cdot {x^{n - 1}}\)
Do đó hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}\).
\({a_{3n - 3}} = {2^3}.C_n^0.C_n^3 + 2.C_n^1.C_n^1\).
\( \Rightarrow {a_{3n - 3}} = 26n \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2{n^2} - 3n + 4} \right)}}{3} = 26n \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{n = 0\left( L \right)}\\{n = - \frac{7}{2}\left( L \right)}\\{n = 5\left( {t/m} \right)}\end{array}\).
Vậy \(n = 5\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C