Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau: Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình. Bước 2: Rót 1 l nướ

Hướng dẫn giải

a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a₁ = 1/2

Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34 l nước, do đó a₂ = 3/4

Sau bước 3 thì trong bình có: (34+1)2=78. l nước, do đó a₂ = 7/8

Ta có thể dự đoán a_n = 2n−12n.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = 12=21−121. Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = 2k−12k.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = 2k+1−12k+1.

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = ak+12=2k−12k+12=(2k−1)+2k2k2=2  .  2k−12k .  2=2k+1−12k+1.

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.