Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án
10 câu hỏi
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*.
a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24;
b) 1.4+2.7+3.10+…+n(3n+1)=n(n+1)2;
c) 11.3+13.5+15.7+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.
Hướng dẫn giải
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = 12(1+1)24. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:13+23+33+…+k3=k2(k+1)24.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:13+23+33+…+k3+(k+1)3=(k+1)2[(k+1)+1]24.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
13+23+33+…+k3+(k+1)3
=k2(k+1)24+(k+1)3
=k2(k+1)24+4(k+1)34
=(k+1)2[k2+4(k+1)]4
=(k+1)2(k2+4k+4)4
=(k+1)2(k+2)24=(k+1)2[(k+1)+1]24.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]
=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)(k+2)2=(k+1)[(k+1)+1]2.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
c) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(2.1−1)(2.1+1)=13=12.1+1. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]=k+12(k+1)+1.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=k2k+1+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)
=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)
=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)
=(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Chứng minh rằng với mọi n ∈ℕ*:
a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;
b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.
Hướng dẫn giải
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k
= 3(3k – 1 – 2k) + 4k
Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k
= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n ∈ℕ*.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13.Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
8k + 1 ≥ (k + 1)3.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+12+13+…+1n≤n+12 đúng với mọi n∈ℕ*.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Với n = 1, ta có 11=1=1+12. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:1+12+13+…+1k≤k+12.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+12+13+…+1k+1k+1≤(k+1)+12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
1+12+13+…+1k+1k+1≤ k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)≤k2+2k+1+22(k+1)≤k2+2k+k+22(k+1)=k2+3k+22(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)=k+22=(k+1)+12.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ℕ*).
a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n ∈ℕ*.
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hướng dẫn giải
a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a1 = 1/2
Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34 l nước, do đó a2 = 3/4
Sau bước 3 thì trong bình có: (34+1)2=78. l nước, do đó a2 = 7/8
Ta có thể dự đoán an = 2n−12n.
b) Ta chứng minh bằng quy nạp:
Bước 1. Với n = 1, ta có a1 = 12=21−121. Do đó công thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak = 2k−12k.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
ak + 1 = 2k+1−12k+1.
Thật vậy:
ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:
ak + 1 = ak+12=2k−12k+12=(2k−1)+2k2k2=2 . 2k−12k . 2=2k+1−12k+1.
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Tìm hệ số của x3 trong khai triển:
a) (1 – 3x)8;
b) (1+x2)7.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(1 – 3x)8 = C8018+C8117(−3x)+...+C8k18−k(−3x)k+...+C88(−3x)8
=1+C81(−3)x+...+C8k(−3)kxk+...+C88(−3)8x8.
Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C83(−3)3=−1512.
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(1+x2)7 = C7017+C7116(x2)+...+C7k17−k(x2)k+...+C77(x2)7
=1+C7112x+...+C7k(12)kxk+...+C77(12)7x7.
Số hạng chứa x3 ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C73(12)3=358.
Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6.
Hướng dẫn giải
Có (2x + 3)(x – 2)6
= 2x(x – 2)6 + 3(x – 2)6.
Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển: 2x(x – 2)6 và 3(x – 2)6.
+) Có: 2x(x – 2)6
= 2x[C60x6+C61x5(−2)+C62x4(−2)2+C63x3(−2)3
+C64x2(−2)4+C65x(−2)5+C66(−2)6]
= 2C60x7+2(−2)C61x6+2(−2)2C62x5+2(−2)3C63x4
+2(−2)4C64x3+2(−2)5C65x2+2(−2)6C66x.
Hệ số của x5 trong khai triển này 120.
+) Có: 3(x – 2)6
= 3[C60x6+C61x5(−2)+C62x4(−2)2+C63x3(−2)3
+C64x2(−2)4+C65x(−2)5+C66(−2)6]
=3C60x6+3(−2)C61x5+3(−2)2C62x4+3(−2)3C63x3
+3(−2)4C64x2+3(−2)5C65x+3(−2)6C66.
Hệ số của x5 trong khai triển này là 3(−2)C61 = –36.
Vậy hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6 là 120 + (–36) = 84.
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
(1 + 2x)6
=16+6.15(2x)+15.14(2x)2+20.13(2x)3+15.12(2x)4+6.1(2x)5+(2x)6
=1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6.
Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x2.
b) Với x nhỏ thì x3, x4, x5, x6 sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi (1 + 2x)6 ≈ 1 + 12x + 60x2.
Khi đó 1,026 = (1 + 2 . 0,01)6 ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,012 = 1,126.
Trong khai triển biểu thức (3x – 4)15 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Hướng dẫn giải
Có (3x – 4)15
=C150(3x)15+C151(3x)14(−4)+...+C15k(3x)15−k(−4)k+...+C151(3x)(−4)14+C1515(−4)15
=a15x15+a14x14+...+akxk+...+a1x+a0 (với ai là hệ số của xi).
Thay x = 1, ta được:
(3 . 1 – 4)15 =a15115+a14114+...+ak1k+...+a11+a0=a15+a14+...+ak+...+a1+a0
⇒a15+a14+...+ak+...+a1+a0=(−1)15=−1.
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*:
a) 1+2Cn1+4Cn2+…+2n−1Cnn−1+2nCnn=3n;
b) C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1.
Hướng dẫn giải
a) 1+2Cn1+4Cn2+…+2n−1Cnn−1+2nCnn
=Cn01+Cn12+Cn222+…+Cnn−12n−1+Cnn2n
=Cn01n+Cn11n−12+Cn21n−222+…+Cnn−11 .2n−1+Cnn2n
= (1 + 2)n = 3n.
b) Ta có:
(x+1)2n=C2n0x2n+C2n1x2n−11+C2n2x2n−212+…+C2n2n−1x12n−1+C2n2n12n
=C2n0x2n+C2n1x2n−1+C2n2x2n−2+…+C2n2n−1x+C2n2n.
Cho x = –1, ta được:
(−1+1)2n=C2n0(−1)2n+C2n1(−1)2n−1+C2n2(−1)2n−2+…+C2n2n−1(−1)+C2n2n
=C2n0−C2n1+C2n2−…−C2n2n−1+C2n2n
⇒C2n0−C2n1+C2n2−…−C2n2n−1+C2n2n=0
⇒C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1.