Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*.

a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24;

b) 1.4+2.7+3.10+…+n(3n+1)=n(n+1)2;

c) 11.3+13.5+15.7+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ℕ*:

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n ∈ℕ*.

Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+12+13+…+1n≤n+12 đúng với mọi n∈ℕ*.

Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ℕ*).

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n ∈ℕ*.

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) (1+x2)7.

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶.

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*:

a) 1+2Cn1+4Cn2+…+2n−1Cnn−1+2nCnn=3n;

b) C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1.