Với mọi x, y > 0, xét các khẳng định sau: i) (x + y)(1/x + 1/y) ≥ 4. ii) x^2 + y^3 ≤ 0. iii) (x + y)(1/x + 1/y) < 4. Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

a) Ta có:

\[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số x, y dương có: \[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\]

Do đó, \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\].

Dấu “=” xảy ra khi x = y.

b) Vì, x, y > 0 nên x² + y³ > 0.

Do đó, khẳng định này sai.

Vậy có khẳng định a) là đúng.