Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S1 = 2; S2 = 2 + 3 = 5; S3 = 2 + 3 + 5 = 10; ...). Chứng minh rằng trong dãy số S1, S2, S3 ... không tồn tại hai số

Gọi p_n là số nguyên tố thứ n

Giả sử tồn tại m mà S_m-1 = k²; S_m = l²; k, l ∈ ℕ*

Vì S₂ = 5, S₃ = 10, S₄ = 17

Suy ra m > 4

Ta có:P_m = S_m – S_m-1 = l² – k² = (l – k)(l + k)

Vì p_m là số nguyên tố và k + l > 1 nên l−k=1l+k=pm

Suy ra 

pm=2l−1=2Sm−1

Suy ra      Sm=pm+122                    (1)

Do m > 4 nên

S_m ≤ (1 + 3 + 5 + 7 + ... + p_m) + 2 – 1 – 9

⇔Sm≤12−02+22−12+32−22+...+pm+122−pm−122−8

⇔Sm≤pm+122−8<pm+122 (mâu thuẫn với (1))

Vậy trong dãy số S₁,S₂,S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.