Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF1^2 – MF2^2 = 4cx và

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ > MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx ⇒ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx ⇒ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

⇒ MF₁ + MF₂ = 4cx2a = 2cax. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = 2cax + 2a ⇒ 2MF₁ = 2cax + 2a

⇒ MF₁ = a + cax =a+cax= |a+ex|.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = 2cax – 2a ⇒2MF₂ = 2cax – 2a

⇒ MF₂ = ca x – a =  =a−cax= |a−ex|.

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ < MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx ⇒ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx ⇒ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

⇒ MF₁ + MF₂ = 4cx2a = – 2cax. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – + (–2a) ⇒ 2MF₁ = – 2cax – 2a

 

⇒ MF₁ = −cax+a=a+cax= |a+ex|.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – 2cax – (–2a) ⇒ 2MF₂ = – 2cax + 2a

⇒ MF₂ =  a –cax =a−cax= |a−ex|.

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

MF1=a+cax= |a+ex|;  MF2=a−cax= |a−ex|.