Với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x – 2m và parabol (P): y = x^2. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.            b) Đúng.                c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = x – 2m, suy ra x² – x + 2m = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x² – x + 2m = 0.  

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P).

Phương trình (1) có: \(\Delta\) = (–1)² – 4.1.2m = 1 – 8m.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (1) vô nghiệm. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m < 0 nên \({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì \({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)

c) Đúng.

Để đường (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m > 0 nên \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)

d) Sai.

Để đường (d) và parabol (P) có một điểm chung thì phương trình (1) có một nghiệm kép. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m = 0 nên \({\rm{m}} = \frac{1}{8}.\)

Vậy có một giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.