Với hai số thực không âm (a,b) thỏa mãn a^2 + b^2= 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Với hai số thực không âm \(a,b\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \frac{{ab}}{{a + b + 2}}\].

0,5

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 4 \Rightarrow 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 4\)

\( \Rightarrow 2M = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4}}{{a + b + 2}} = a + b - 2\)

0,25

Ta có: \(a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow M \le \sqrt 2  - 1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt 2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) bằng \(\sqrt 2  - 1\) khi \(a = b = \sqrt 2 \).

0,25