Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Phương pháp:

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Cách giải:

Với a>0 ta có hệ thức:

1+1a−1a+12=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−21aa+1=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−2a+2a+1=1+1a2+1a+12

Nên 1+1a2+1a+12=1+1a−1a+1=1+1a−1a+1

Khi đó: T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1=2+1x+1y

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Giả sử M>0 là giá trị lớn nhất của T.

Khi đó nếu ta chọn 1x=M+1⇔x=1M+1∈0;1;y=2−1M+1>0. Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và x+y=2.

Với bộ x, y vừa chọn ta có T=2+1x+1y>2+M+1

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.