Với giá trị nào của y thì vectơ → b = ( 3 ; y ) tạo với vectơ → a một góc 45 ∘ ?

9/20

Cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của \(y\) thì vectơ \(\overrightarrow b = \left( {3;y} \right)\) tạo với vectơ \(\overrightarrow a \) một góc \(45^\circ \)?

\(y = - 9\).

\(\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = 9\end{array} \right.\).

\(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 9\end{array} \right.\).

\(y = - 1\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }}\).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(45^\circ \), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\left( 1 \right)\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {90 + 10{y^2}} = 6 - 4y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 4y \ge 0\\90 + 10{y^2} = {\left( {6 - 4y} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\{y^2} - 8y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = - 1\).