Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

28/235

Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 4\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m \le - 2}\end{array}} \right.\).

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m < - 2}\end{array}} \right.\).

\( - 2 < m < 2\).

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình

\({x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 4 = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = {m^2} - 4 > 0}\\{g\left( { - 1} \right) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m < - 2}\end{array}.} \right.} \right.\)