Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y = x^3 − 3 x^2 + m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn O A = O B (O là gốc tọa độ)?

Đáp án D

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\)

Xét \(y' = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = m\)

Với \(x = 2 \Rightarrow y = m - 4\)

Do đó, đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là \(A\left( {0;m} \right),B\left( {2;m - 4} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {0;m} \right) \Rightarrow OA = \sqrt {{m^2}} \)

\(\overrightarrow {OB} = \left( {2;m - 4} \right) \Rightarrow OB = \sqrt {4 + {{(m - 4)}^2}} \)

Để \(OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{m^2}} = \sqrt {4 + {{(m - 4)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {(m - 4)^2}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {m^2} - 8m + 16\)

\( \Leftrightarrow 8m = 20\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\)