a) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức P là \(x - 3 \ne 0\), \(x + 3 \ne 0\), \({x^2} - 9 \ne 0\) và \(x - 5 \ne 0,\) tức là \(x \ne 3\), \(x \ne - 3\) và \(x \ne 5\).

b) Đúng. \(\frac{x}{{x - 3}} - \frac{x}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x} \right) + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 3x - {x^2} + 3x + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{6x + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{6\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{6}{{x - 3}}\).

c) Đúng. \(P = \left( {\frac{x}{{x - 3}} - \frac{x}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{x - 5}}{{x - 3}} = \frac{6}{{x - 3}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x - 5}}\)\( = \frac{6}{{x - 5}}.\)

d) Sai. Với \(x\) nguyên, để \(P\) là số nguyên thì \(\left( {x - 5} \right)\) phải là ước nguyên của 6.

Mà \(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,3;\,\, - 3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}\) nên \(\left( {x - 5} \right) \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,3;\,\, - 3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}\).

Lập bảng giá trị, ta giải ra 8 giá trị của \(x\) tương ứng là: \(\left\{ {6;\,\,4;\,\,7;\,\,3;\,\,8;\,\,2;\,\,11;\,\, - 1} \right\}.\)

Đối chiếu với điều kiện xác định ở ý a), ta thấy giá trị \(x = 3\) không thỏa mãn.

Vậy chỉ có đúng 7 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

Với điều kiện phân thức có nghĩa. Kết quả rút gọn của phân thức (x^3 - 1)/(x - 1) là: