Với điều kiện nào của \(m\) thì hàm số \(f(x) = (2m - 1)x + m + 3\) đồng biến trên R

Xét \(T = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} \ne {x_2}\).

Ta có: \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left[ {(2m - 1){x_2} + m + 3} \right] - \left[ {(2m - 1){x_1} + m + 3} \right] = (2m - 1)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\).

Suy ra: \(T = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2m - 1\). Điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là \(T = 2m - 1 > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\). Vậy với \(m > \frac{1}{2}\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).