Với các số thực x,y thỏa mãn

Điều kiện: \[x \ge --6,y \ge --6\]

Từ điều kiện đề bài ta có \[x + y \ge 0\] và:

\[x - \sqrt {x + 6}  = \sqrt {y + 6}  - y\]

\( \Leftrightarrow x + y = \sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 6} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 6} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = x + 6 + y + 6 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = x + y + 12 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)} \)\[\left( * \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm \(\sqrt {x + 6} \) và \(\sqrt {y + 6} \), ta có:

\(2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)}  \le \left( {x + 6} \right) + \left( {y + 6} \right)\)

\[ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)}  \le x + y + 12\]

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = x + 6 + y + 6 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)}  \le x + y + 12 + x + y + 12\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) - 24 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y - 6} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - 4 \le x + y \le 6\)

Do đó \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(6\) \[ \Leftrightarrow x = y = 3\].

Ta có \(2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)}  \ge 0\) nên từ \[\left( * \right)\] suy ra

\({\left( {x + y} \right)^2} = x + y + 12 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {y + 6} \right)}  \ge x + y + 12\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - \left( {x + y} \right) - 12 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - 4} \right)\left( {x + y + 3} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow x + y \ge 4\) (do \(x + y + 3 > 0\))

Do đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y =  - 6\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y = 10\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của \(P\) là 6 khi \(x = y = 3\) và GTNN của \(p\) là 4 khi \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {10; - 6} \right);\left( { - 10;6} \right)} \right\}\).