Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca – abc.

Lời giải:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a – 1; 2b – 1; 2c – 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Giả sử (2a – 1)(2b – 1) ≥ 0

4ab – 2a – 2b + 1 ≥ 0

4ab ≥ 2ac + 2bc – c

2abc ≥ ac + bc – \(\frac{c}{2}\).

Khi đó thì P = ab + bc + ca – 2abc + abc ≤ ab + bc + ca – ac – bc + \(\frac{c}{2}\) + abc

= \(ab + abc + \frac{c}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + abc + \frac{c}{2}\)

= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc}}{2} - \frac{1}{2}\left( {{c^2} - c + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{8}\)

=\(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}{\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{8}\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).