Với các số thực a và b thỏa mãn a^2 + b^2 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3(a + b) + ab

Ta có :

a+b2=a2+b2+2ab=2+2ab⇒ab=a+b2−22=12a+b2−1

Khi đó ta có: P=3a+b+ab=3a+b+12a+b2−1

P=12a+b2+6a+b+9−112⇒P=12a+b+32−112

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

a+b2≤2a2+b2=2.2=4⇒−2≤a+b≤2

⇒−1≤a+b+3≤5⇒−5≤12a+b+32−112≤7⇔Pmin=−5

Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a2+b2=2a=ba+b=−2⇔a=b=−1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng −5⇔a=b=−1