Với a là tham số, cho hàm số f(x) = * căn bậc hai(x^2 - 5) + ax khi x > 3 * x + 5 khi x ≤ 3.

a) ĐÚNG.Khi \(x \to - \infty \), ta có \(x \le 3\), do đó \(f\left( x \right) = x + 5\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 5} \right) = - \infty \).

b) SAI.Với \(a = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 5} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{5}{{{x^2}}}} + 1} \right) = + \infty \).

c) SAI.Với \(a = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 5} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{x^2} - 5} + x}} = 0\).

d) ĐÚNG.Hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).

Ta có \(f\left( 3 \right) = 3 + 5 = 8\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 8\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} - 5} + ax} \right) = \sqrt {{3^2} - 5} + 3a = 2 + 3a\).

Để hàm số liên tục tại \(x = 3\) thì \(2 + 3a = 8 \Leftrightarrow 3a = 6 \Leftrightarrow a = 2\).

Đáp án:

a) Đ - b) S - c) S - d) Đ