Với a,b,c là các số thực thỏa mãn {3} / {8} < a < 1

Đáp án: 36.

+ Ta có \({b^3} - \frac{{3b - 1}}{4} = \frac{{4{b^3} - 3b + 1}}{4} = \frac{{{{\left( {2b - 1} \right)}^2}\left( {b + 1} \right)}}{4} \ge 0\) \( \Rightarrow \frac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}\).

Vì \(a < 1\) nên \(4{\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge 4{\log _a}\left( {{b^3}} \right) = 12{\log _a}b\).

+ Ta có \({c^2} - \left( {\frac{c}{2} - \frac{1}{{16}}} \right) = {c^2} - \frac{c}{2} + \frac{1}{{16}} = {\left( {c - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow \frac{c}{2} - \frac{1}{{16}} \le {c^2}\).

Vì \(b < 1\) nên \(3{\log _b}\left( {\frac{c}{2} - \frac{1}{{16}}} \right) \ge 3{\log _b}\left( {{c^2}} \right) = 6{\log _b}c\).

+ Ta có \({a^4} - \left( {\frac{a}{2} - \frac{3}{{16}}} \right) = {a^4} - \frac{a}{2} + \frac{3}{{16}}\).

Sử dụng biến đổi: \({a^4} - \frac{1}{2}a + \frac{3}{{16}} = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2}\left( {{a^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge 0\)\( \Rightarrow \frac{a}{2} - \frac{3}{{16}} \le {a^4}\).

Vì \(c < 1\) nên \(6{\log _c}\left( {\frac{a}{2} - \frac{3}{{16}}} \right) \ge 6{\log _c}\left( {{a^4}} \right) = 24{\log _c}a\).

+ Cộng 3 bất đẳng thức ta được:\(P \ge 12{\log _a}b + 6{\log _b}c + 24{\log _c}a\)

Ta có \(P \ge 3\sqrt[3]{{12 \cdot 6 \cdot 24 \cdot \left( {{{\log }_a}b \cdot {{\log }_b}c \cdot {{\log }_c}a} \right)}} \ge 3\sqrt[3]{{1728 \cdot 1}} = 36\). Vậy \(MinP = 36\) khi và chỉ khi

\(b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{4},a = \frac{1}{2}\).