a) Đúng.

Vì \(AK\parallel BD\) nên áp dụng định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AK}}{{BD}}.\) (1)

Vì \(AH\parallel DC\) nên suy ra \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{DC}}\).

b) Đúng.

Ta có \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{AH}}{{BC}}{\rm{ }}\left( {AH\parallel BC} \right)\) và \(\frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AK}}{{BC}}{\rm{ }}\left( {AK\parallel BC} \right)\).

Do đó, \(\frac{{AF}}{{BF}} + \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{BC}}.\)

c) Đúng.

Lại có \(\frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{IC}}{\rm{ }}\left( {HK\parallel BC} \right)\) và \(\frac{{HI}}{{IC}} = \frac{{AI}}{{ID}}{\rm{ }}\left( {AH\parallel BC} \right)\).

Từ đây suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} + \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{IC}} = \frac{{AI}}{{ID}}\).

Suy ra \(\frac{{AE}}{{CE}} + \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{AI}}{{ID}}\).

d) Sai.

Từ phần a), ta có: \(\frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{DC}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{AH}}\).

Lại có \(AK\parallel BC\) suy ra \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AK}}\).

Mặt khác \(AH\parallel BC\) nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{HA}}{{BC}}\).

Từ đây suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{EC}}{{EA}} \cdot \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AK}}{{AH}} \cdot & \frac{{BC}}{{AK}} \cdot \frac{{HA}}{{BC}} = 1.\)

Viết tỉ số cặp đoạn thẳng độ dài như sau: AB = 4dm