Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

51/84

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((P)\) đi qua điểm \(M( - 3;1;4)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2; - 4;1)\);

b) \((P)\) đi qua điểm \(N(2; - 1;5)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = (1; - 3; - 2)\) và \({\vec u_2} = ( - 3;4;1)\);

c) \((P)\) đi qua điểm \(I(4;0; - 7)\) và song song với mặt phẳng \((Q):2x + y - z - 3 = 0\);

d) \((P)\) đi qua điểm \(K( - 4;9;2)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm \({\rm{M}}( - 3;1;4)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2; - 4;1)\) là:

\(2(x + 3) - 4(y - 1) + 1(z - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0.\)

b) Xét vectơ \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (5;5; - 5)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}})\).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

\(5(x - 2) + 5(y - ( - 1)) - 5(z - 5) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0.\)

c) Mặt phẳng \(({\rm{Q}}):2{\rm{x}} + {\rm{y}} - {\rm{z}} - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = (2;1; - 1)\).

Vì mặt phẳng \(({\rm{P}})\) song song với mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nên mặt phẳng \(({\rm{P}})\) nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = (2;1; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) là:

\(2(x - 4) + 1(y - 0) - 1(z + 7) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0.\)

d) Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1;5)\).

Vì \(\Delta \bot ({\rm{P}})\) nên mặt phẳng \(({\rm{P}})\) nhận \(\vec u = (2;1;5)\) làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) là: \(2(x + 4) + 1(y - 9) + 5(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\)