Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = x^3 − x^2 + 2 tại điểm có hoành độ dương, biết d tạo với trục hoành một góc 45 ∘ .

\(d\) tạo với trục hoành một góc \(45^\circ \) nên hệ số góc của \(d\) là 1 hoặc \( - 1\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2\).

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x\).

Gọi \({x_0}\left( {{x_0} > 0} \right)\) là hoành độ tiếp điểm của \(d\) với đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\).

Hệ số góc của \(d\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2{x_0}\).

Do đó ta có \[\left[ \begin{array}{l}3x_0^2 - 2{x_0} = 1\\3x_0^2 - 2{x_0} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\].

Vì \({x_0} > 0\) nên \({x_0} = 1\).

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\) là:

\(y = 1 \cdot \left( {x - 1} \right) + 1 - 1 + 2 \Leftrightarrow y = x + 1\). Chọn D.