Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải

\(d\) tạo với trục hoành một góc \({45^0}\) nên hệ số góc của \(d\) là 1 hoặc -1.

Ta có \(y = f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2\).

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x\).

Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của \(d\) với đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\).

Hệ số góc của \(d\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2{x_0}\).

Do đó ta có \[3x_0^2 - 2{x_0} = 1 \vee 3x_0^2 - 2{x_0} = - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {1_{\left( n \right)}} \vee {x_0} = - \frac{1}{3}{\,_{(l)}}\].

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\) là:

\(y = \left( {3x_0^2 - 2{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - x_0^2 + 2\)

\( \Leftrightarrow y = 1.\left( {x - 1} \right) + 1 - 1 + 2 \Leftrightarrow y = x + 1\).