Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) : x^2 + y^2 – 2x + 4y + 4 = 0

19/20

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) : x² + y² – 2x + 4y + 4 = 0 . Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0

2x + 5 y + $\sqrt{5} - 4$ = 0 và 2x + 5 y $- \sqrt{5} - 4$ = 0;

2x – 5 y + $\sqrt{5} - 4$ = 0 và 2x – 5 y $- \sqrt{5} - 4$ = 0;

2x – 5 y + $\sqrt{5} + 4$ = 0 và 2x – 5 y $+ \sqrt{5} + 4$ = 0;

2x – 5 y − $\sqrt{5} + 4$ = 0 và 2x – 5 y $- \sqrt{5} + 4$ = 0.

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1

Đường thẳng x + 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} (1; 2)$

Theo giả thiết ta có: đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên đường thẳng ∆ nhận $\vec{n_{1}}$ làm vectơ chỉ phương. Do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là $\vec{n_{Δ}} (2; - 1)$ .

Phương trình đường thẳng ∆ có dạng 2x – y + m = 0

Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{|2 + 2 + m|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}$ = 1

⇔ $|4 + m| = \sqrt{5}$

⇔ $[\begin{array}{l} 4 + m = \sqrt{5} \\ 4 + m = - \sqrt{5} \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} m = \sqrt{5} - 4 \\ m = - \sqrt{5} - 4 \end{array}$

+ Với m = $\sqrt{5} - 4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y + $\sqrt{5} - 4$ = 0

+ Với m = $- \sqrt{5} - 4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y $- \sqrt{5} - 4$ = 0