Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giái

Xác định phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại một điểm. Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tiếp tuyến đó và xác định \({x_0}\).

Lời giải

Ta có \(:y' = \frac{4}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)

\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}},y\left( {{x_0}} \right) = {y_0} = \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại \(M\) có dạng:

\(d:y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}}\)

Tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right) \Rightarrow A \in d\)

Thay tọa độ \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(1 = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {1 - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}}\)

Giải phương trình ta được \({x_0} = 0\)

Thay \({x_0} = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(y = 4x - 3\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(4x - y - 3 = 0\)