Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và vuông góc với (P).

21/35

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} - 1} \right)\); \(B\left( { - 1;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} \,x + 2y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A,{\mkern 1mu} B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

\(\left( Q \right):{\mkern 1mu} 2x - y + 3 = 0\).

\(\left( Q \right):{\mkern 1mu} x + z = 0\).

\(\left( Q \right):{\mkern 1mu} - x + y + z = 0\).

\(\left( Q \right):{\mkern 1mu} 3x - y + z = 0\).

Giải thích

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right) = - 2\left( {1;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec u = \left( {1;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A,{\mkern 1mu} B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) nhận hai vectơ \(\vec u = \left( {1;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - 1} \right)\),\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương suy ra \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {1;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A\) \( \Rightarrow \left( Q \right):{\mkern 1mu} x + z = 0\). Chọn B.