Viết phương trình đường thẳng d' đi qua điểm A và điểm M'.

Hướng dẫn giải

Giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\].

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \):  \(\Delta ':3x - y + c = 0\)

Vì \(M \in \Delta ' \Rightarrow 3.0 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta ':3x - y + 3 = 0\)

Gọi \[H\] là giao điểm của \(\Delta '\) và đường thẳng \(\Delta \). Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\\3x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{{10}}\\y = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{7}{{10}};{\rm{ }}\frac{9}{{10}}} \right)\].

Ta có \[H\] là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( { - \frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{6}{5}} \right)\)

Viết phương trình đường thẳng \(d'\) chính là phương trình đường thẳng \(AM'\):

Ta có phương trình đường thẳng \(AM'\) đi qua \[A( - 1;1)\], có vectơ chỉ phương là  vectơ \(\overrightarrow {AM'}  = \left( {\frac{2}{5};{\rm{ }}\frac{{11}}{5}} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{{11}}{5};{\rm{ }} - \frac{2}{5}} \right)\)

\(d' = AM':\frac{{11}}{5}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 2y + 13 = 0\)