Viết phương trình đường thẳng a đi qua M(4; -2; 1), song song với mặt phẳng (α): 3x - 4y + z - 12 = 0 và cách A(-2; 5; 0) một khoảng lớn nhất.

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng \(a\). Lập luận để khoảng cách đạt lớn nhất khi \(H \equiv M\)Khi đó đường thẳng \(a\) vuông góc với AM và nằm trong mặt phẳng qua M song song với \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 7;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\vec n = \left( {3; - 4;1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \(a\). Ta có \(d\left( {A;a} \right) = AH \le AM\).

Khoảng cách này lớn nhất khi \(H \equiv M\).

Khi đó \(a\) là đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và vuông góc với AM.

Gọi \(\vec u\) là vectơ chỉ phương của \(a \Rightarrow \vec u \bot \vec n\) và \(\vec u \bot \overrightarrow {AM} \).

Ta tính tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\vec n} \right] = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1;1} \right)\).

Chọn \(\vec u = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(a\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).