Viết phương trình của parabol y = a(x^2) + bx + c ứng với mỗi hình sau

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {3;4} \right)\) và điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc đồ thị.

Ta có:

\( - \frac{b}{{2a}} = 3 \Leftrightarrow b =  - 6a.\)   (1);      \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 4\)    (2);      \(0 = a - b + c\)            (3)

Thay \(b =  - 6a\) vào (2) ta được: \(\frac{{4ac - 36{a^2}}}{{4a}} = 4 \Leftrightarrow c - 9a = 4\) (vì \(a \ne 0\)) \( \Rightarrow c = 4 + 9a.\)

Thay \(b =  - 6a\) và \(c = 4 + 9a\) vào (3) ta được: \(a + 6a + 4 + 9a = 0 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}.\)

Từ đó \(b =  - 6a = \frac{3}{2}\) và \(c = 4 + 9a = \frac{7}{4}.\)

Vậy \(y =  - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}.\)

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) suy ra \(c = 2.\)

Trục đối xứng là \(x = 1\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\).

Mà đồ thị đi qua điểm \(M\left( {3;4} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b =  - 2a\\4 = 9a + 3b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b =  - \frac{4}{3}\\c = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(y = \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{3}x + 2.\)

c) Parabol có đỉnh \(I\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;2} \right).\)

Suy ra \(c = 2;\,\,\, - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b =  - 4a.\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = 0 \Rightarrow 16{a^2} - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) (vì \(a \ne 0\)) và \(b =  - 4a =  - 2.\)

Vậy \(y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2.\)