Viết phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) biết rằng:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có: \(2c = 2\sqrt {13}  \Rightarrow c = \sqrt {13}  \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow {a^2} = 13 - {b^2}\) (1).

(H) qua \(M\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{2}; - 1} \right)\) nên \(\frac{{45}}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1\). Suy ra: \(\frac{{45}}{{4\left( {13 - {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1\) \( \Rightarrow 45{b^2} - 4\left( {13 - {b^2}} \right) = 4{b^2}\left( {13 - {b^2}} \right) \Rightarrow 4{b^4} - 3{b^2} - 52 = 0 \Rightarrow {b^2} = 4,{a^2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là \((H):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).