Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là  F1;F2 biết: a) (E) đi qua hai điểm: P(4;9/5) và Q(3;12/5)

Hướng dẫn giải

a) Xét (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (E) đi qua hai điểm: \(P\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(Q\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16}}{{{a^2}}} + \frac{{81}}{{25{b^2}}} = 1\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\). Vậy phương trình elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b) Xét (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên: \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\)  (1)

Ta có: \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = 90^\circ \) \( \Rightarrow OM = O{F_1} \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = \frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = 5\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\).

Thay vào (1) ta được:

\[\frac{9}{{5({b^2} + 5)}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{b^2} + 16({b^2} + 5) = 5{b^2}({b^2} + 5) \Leftrightarrow {b^4} = 16 \Leftrightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow {a^2} = 9\]

Vậy phương trình elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).