a) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 3,5.4,2.{\rm{cos}}85^\circ \approx 1,3\).

Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .2\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \approx 3,{5^2} + 2.1,3 \approx 13,5\).

b)

$a) Cho hai vectơ bất kì \(\overright (ảnh 1)$

Dựng hình bình hành \(AGCE\). Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {ME} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = ME\)

Kẻ \[EF \bot BC\left( {F \in BC} \right)\]

\( \Rightarrow ME \ge EF\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[EF\] khi \(M\) trùng \(F\).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\), kẻ \[PQ \bot BC\left( {Q \in BC} \right)\]

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(GE\) (tính chất hình bình hành)

Ta lại có: \(BG = \frac{2}{3}BP\)

\( \Rightarrow BP = \frac{3}{4}BE\)

Vì \[PQ\parallel EF\left( { \bot BC} \right)\] nên \(BQ = \frac{3}{4}BF\) hay \(BF = \frac{4}{3}BQ\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)

Xét tam giác \(AHC\), có:

\(P\) là trung điểm của \(AC\)

\[PQ\parallel AH\left( { \bot BC} \right)\]

Suy ra \(Q\) là trung điểm của \(HC\) nên \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)

Ta lại có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} \)

Mà \(\overrightarrow {HC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} .\)

Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{4}{3}.\frac{5}{8}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \).

Vậy điểm \(M\) nằm trên \(BC\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \) hay \(x = \frac{5}{6}\) thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vectơ −−→ PQ là: