Vẽ nửa đường tròn đường kính BC của tam giác đều ABC về phía ngoài

Xét ΔBAM và ΔCAN có: ∠A1=∠A3 (góc nội tiếp chắn BD⏜=CE⏜)

∠B=∠C;AB=AC(gt)⇒ΔBAM=ΔCAN(g.c.g)⇒BM=CN

Xét ΔOBDcó OB=OD,∠O=600⇒ΔOBD đều

⇒∠DBO=600⇒∠DBO=∠BCA, mà hai góc ở vị trí so le trong nên BD//AC⇒BMCM=BDBA, mà BD=BOBA=BC⇒BDBA=BOBC=12⇒ODAB=12

Vì ∠O=∠B=600 mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // OD

Áp dụng định lý Ta let ta có OMMB=ODAB=12, Chứng minh tương tự ⇒ONNC=12

⇒OM+ON=12MB+12MB=MB  (do  MB=NC)⇒MN=MB

Vậy BM=MN=NC