Vẽ đồ thị hàm số y = 1/2 x^2 trên hệ trục tọa độ Oxy .
17/20
(2,0 điểm)
a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) trên hệ trục tọa độ \[Oxy.\]
b) Cho phương trình \({x^2} - 4x + 4m + 3 = 0\). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\).
c) Sau một trận giông lốc ở làng quê, một cây tre thẳng đứng cao 9 mét bị gãy gập ở lưng chừng. Ngọn tre chạm đất và vị trí chạm đất cách gốc tre 3 mét (bỏ qua độ cong của phần thân tre bị gãy). Giả sử thân tre mọc vuông góc với mặt đất, hỏi điểm gãy cách mặt đất bao nhiêu mét?
a) Ta có bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\) | \(2\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) |
Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có dạng là đường cong parabol đi qua 5 điểm:
\(\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {2;\,\,2} \right)\).
b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1 \cdot \left( {4m + 3} \right) = 4 - 4m - 3 = 1 - 4m\).
Để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(1 - 4m \ge 0\) suy ra \(m \le \frac{1}{4}\).
Áp dụng định lí Viète ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}{x_2} = 4m + 3}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 9\)
\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 9\)
\({4^2} - 2\left( {4m + 3} \right) = 9\)
\(16 - 8m - 6 = 9\)
\(10 - 8m = 9\)
\(8m = 1\)
\(m = \frac{1}{8}\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = \frac{1}{8}\) là giá trị cần tìm.
c) Gọi khoảng cách giữa điểm gãy với mặt đất là: \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{m; }}0 < x < 9} \right)\).
Khi đó, khoảng cách từ điểm gãy đến ngọn là: \(9 - x\) (m).
Do điểm gãy, gốc cây, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông nên ta có:
\({x^2} + {3^2} = {\left( {9 - x} \right)^2}\)
\({x^2} + 9 = 81 - 18x + {x^2}\)
\({x^2} + 9 - 81 + 18x - {x^2} = 0\)
\(18x - 72 = 0\)
\(x = 4\) (thỏa mãn).
Vậy khoảng cách điểm gãy đến mặt đất là \(4\) m.