Vào dịp sinh nhật của mình, Nam được tặng một chiếc bánh sinh nhật hình nón cụt có bán kính đáy lần lượt là 30 cm; 20 cm

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua tâm đáy đường tròn lớn và song song với đường sinh, khi ấy thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với mặt nón tạo thành một đường cong parabol \(\left( C \right)\), khi ấy thiết diện này chia khối nón thành 2 phần với thể tích phần nhỏ hơn được tô đậm hơn như hình bên trái.
Sau đó xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đường tròn đáy cắt thể tích phần nhỏ hơn. Khi ấy ta thu được mặt cắt là hình viên phân có diện tích \(S\left( t \right)\) như hai hình bên phải (hình vẽ dưới)
Đặt \(H,O\) lần lượt là tâm đường tròn đáy lớn và đường tròn thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) với tổng thể khối nón. Chọn trục \(Ot\) hướng lên theo chiều cao khối nón, đặt \(OH = t \in \left[ {0;50} \right]\)

Theo định lí Talet, ta có: \(\frac{{HO}}{{HK}} = \frac{{OA}}{{KL}} \Leftrightarrow \frac{{t}}{{50}} = \frac{{OA}}{{30 - 20}} \Rightarrow OA = \frac{t}{5}\left( {cm} \right)\)
Suy ra: \(OB = OD = AD - AO = 30 - \frac{t}{5}\left( {cm} \right){\rm{ }};{\rm{ }}BC = 2\sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = 2\sqrt {900 - 12t} \left( {cm} \right)\)
Với \(\widehat {AOB} = \alpha \to \cos \alpha = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{t}{{150 - t}} \to \alpha = \arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right)\), ta suy ra diện tích hình quạt tròn quét góc \(\widehat {BOC}\) là: \({S_c} = \frac{{2\alpha }}{{2\pi }}\pi O{B^2} = \alpha O{B^2} = {\left( {30 - \frac{t}{5}} \right)^2}\arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)
Mà diện tích tam giác \(BOC\) là: \({S_{\Delta BOC}} = \frac{1}{2}OA.BC = \frac{{t\sqrt {900 - 12t} }}{5}\left( {c{m^2}} \right)\) nên suy ra:
\(S\left( t \right) = {S_c} - {S_{\Delta BOC}} = {\left( {30 - \frac{t}{5}} \right)^2}\arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right) - \frac{{t\sqrt {900 - 12t} }}{5}\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy thể tích cần tìm bằng: $V=\underset{0}{\overset{50}{\int }}S\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{50}{\int }}\left[{\left(30-\frac{t}{5}\right)}^2\arccos \left(\frac{t}{150-t}\right)-\frac{t\sqrt{900-12t}}{5}\right]dt\approx 38270\left(c{m}^3\right)\to \boxed{\mathrm{38,3}\left(d{m}^3\right)}$