Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu li

19/22

Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu liên tiếp là \(t\) (đơn vị: phút), với \(2 \le t \le 20\), \(t \in {\mathbb{N}^*}\). Sức chở của tàu cao tốc có liên hệ với \(t\) như sau.

+ Khi \(10 \le t \le 20\), tàu ở trạng thái đầy, sức chở là \(1200\) người.

+ Khi \(2 \le t < 10\), sức chở giảm so với mức đầy; số người giảm tỉ lệ thuận với \({\left( {10 - t} \right)^2}\). Biết rằng khi \(t = 5\) (phút) thì sức chở là \(950\) người.

Gọi \(P\left( t \right)\) (người) là sức chở của tàu khi thời gian giữa hai chuyến là \(t\) phút. Giả sử lợi nhuận ròng của tuyến khi đó là \(Q\left( t \right) = \frac{t}{5}P\left( t \right) - 40{t^2} + 660t - 1372\) (triệu đồng). Hỏi khi \(t\) bằng bao nhiêu phút thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút \(\frac{{Q\left( t \right)}}{t}\) đạt giá trị lớn nhất?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 7.

Khi \(2 \le t < 10\), \(P\left( t \right) = 1200 - a{\left( {10 - t} \right)^2}\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)

\( \Rightarrow 950 = P\left( 5 \right) = 1200 - a{\left( {10 - 5} \right)^2} \Leftrightarrow a = 10\).

Suy ra \(P\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1200 - 10{{\left( {10 - t} \right)}^2}}&{\left( {2 \le t < 10} \right)}\\{1200}&{\left( {10 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(\frac{{Q\left( t \right)}}{t} = \frac{{P\left( t \right)}}{5} - 40t + 660 - \frac{{1372}}{t} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2{t^2} + 700 - \frac{{1372}}{t}}&{\left( {2 \le t < 10} \right)}\\{ - 40t + 900 - \frac{{1372}}{t}}&{\left( {10 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(2 \le t < 10\): \[{\left[ {\frac{{Q\left( t \right)}}{t}} \right]^\prime } = - 4t + \frac{{1372}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 7 \in \left[ {2;10} \right)\].

Khi đó, \[{\left[ {\frac{{Q\left( t \right)}}{t}} \right]_{\max }} = - 2 \times {7^2} + 700 - \frac{{1372}}{7} = 406\].

Với \(10 \le t \le 20\): \[\frac{{Q\left( t \right)}}{t} = - 40t + 900 - \frac{{1372}}{t} \le - 2\sqrt {40 \times 1372} + 900 \approx 431,5\].

Dấu bằng xảy ra khi \[ - 40t = - \frac{{1372}}{t} \Rightarrow t = \frac{{7\sqrt {70} }}{{10}} \notin \left[ {10;20} \right]\].

Vậy khi \[t = 7\] (phút) thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút đạt giá trị lớn nhất.