Đáp án đúng là A

Gọi số hạt nhân ${}_{84}^{210} P o$ và số hạt nhân ${}_{82}^{206} P b$ tại thời điểm ban đầu là $N_{0_{P o}}$ và $N_{0_{P b}}$ .

Phương trình phóng xạ: ${}_{84}^{210} P o \to {}_{82}^{206} P b + {}_{2}^{4} H e$

Sau khoảng thời gian t, số hạt nhân ${}_{84}^{210} P o$ còn lại là: $N = N_{0_{P o}} . 2^{- \frac{t}{T}}$ và số hạt nhân ${}_{82}^{206} P b$ mới được tạo thành bằng số hạt nhân ${}_{84}^{210} P o$ đã mất đi: $Δ N = N_{0_{P o}} (1 - 2^{- \frac{t}{T}})$ .

Tại thời điểm $t_{1}$ , tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} P b$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210} P o$ là:

$\frac{N_{0_{P b}} + Δ N_{1}}{N_{1}} = \frac{N_{0_{P b}} + N_{0_{P o}} (1 - 2^{- \frac{t_{1}}{T}})}{N_{0_{P o}} . 2^{- \frac{t_{1}}{T}}} = 1$ ⇔ $\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} . 2^{\frac{t_{1}}{T}} + 2^{\frac{t_{1}}{T}} - 1 = 1$ ⇒ $(\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} + 1) 2^{\frac{t_{1}}{T}} = 2$ (1)

Tại thời điểm $t_{2}$ , tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} P b$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210} P o$ là:

$\frac{N_{0_{P b}} + Δ N_{2}}{N_{2}} = \frac{N_{0_{P b}} + N_{0_{P o}} (1 - 2^{- \frac{t_{2}}{T}})}{N_{0_{P o}} . 2^{- \frac{t_{2}}{T}}} = 7$ ⇔ $\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} . 2^{\frac{t_{2}}{T}} + 2^{\frac{t_{2}}{T}} - 1 = 7$ ⇒ $(\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} + 1) 2^{\frac{t_{2}}{T}} = 8$ (2)

Chia (2) cho (1) theo từng vế, ta được:

$\frac{2^{\frac{t_{2}}{T}}}{2^{\frac{t_{1}}{T}}} = 4$ ⇔ $2^{\frac{t_{2} - t_{1}}{T}} = 4$ ⇔ $2^{\frac{3, 52 t_{1} - t_{1}}{T}} = 2^{2}$ ⇒ $\frac{2, 52 t_{1}}{T} = 2$ ⇔ $\frac{t_{1}}{T} = \frac{50}{63}$

Thay $\frac{t_{1}}{T} = \frac{50}{63}$ vào (1) ta được: $(\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} + 1) . 2^{\frac{50}{63}} = 2$ ⇒ $\frac{N_{0_{P b}}}{N_{0_{P o}}} \approx 0, 154$ .

Tuổi của mẫu than lấy từ hố lửa cổ nói trên là bao nhiêu năm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?