Tuổi của mẫu đá uraninite trên là z.10^{10} năm. Giá trị của z là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm)?

${}^{238}_{92}U \rightarrow {}^{206}_{82}Pb + 8\alpha + 6\beta^-.$

Gọi t là tuổi của mẫu đá (năm), $T = 4{,}5592\cdot 10^{9}$ năm.

Số hạt ${}^{238}U$ còn lại:
\[
N_U = N_0\,2^{-t/T}.
\]

Số hạt {}^{206}Pb tạo thành:
\[
N_{Pb} = N_0 - N_U = N_0\left(1-2^{-t/T}\right).
\]

Tỉ số khối lượng đã cho:
\[
\frac{m_U}{m_{Pb}}=\frac{M_U N_U}{M_{Pb} N_{Pb}}
= \frac{238}{206}\cdot \frac{2^{-t/T}}{1-2^{-t/T}}=0{,}0453.
\]

Đặt \(x=2^{-t/T}\):
\[
0{,}0453=\frac{238}{206}\cdot \frac{x}{1-x}
\;\Rightarrow\;
x=\frac{0{,}0453}{0{,}0453+\frac{238}{206}}.
\]

Tuổi mẫu:
\[
t=-T\,\frac{\ln x}{\ln 2}
=4{,}5592\cdot 10^{9}\cdot \frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\ln 2}
\approx 2{,}16\cdot 10^{10}\ \text{năm}.
\]

Suy ra \(z \approx 2{,}16\).