Từ vị trí O trên một cái tháp, người ta quan sát một cây cao. Biết khoảng cách từ vị trí cái tháp người đó đứng đến cái cây là 20 m, chiều cao của cái tháp là 4 m, góc nhìn từ gốc cây đến ng
47/48
(1 điểm) Từ vị trí \(O\)trên một cái tháp, người ta quan sát một cây cao. Biết khoảng cách từ vị trí cái tháp người đó đứng đến cái cây là 20 m, chiều cao của cái tháp là 4 m, góc nhìn từ gốc cây đến ngọn cây là \(\widehat {BOC} = 60^\circ \), góc nhìn nếu đứng ở gốc cây nhìn từ chân tháp đến đỉnh tháp thì góc nhìn là \(\widehat {OBH} = 25^\circ \). Tính chiều cao của cây.
Theo đề bài ta có: \(OH = 4\,\,{\rm{m}}\), \(HB = 20\,\,{\rm{m}}\).
Xét tam giác vuông \(OHB\)
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
\(O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {20^2} = 416 \Rightarrow OB = \sqrt {416} \approx 20,4\) (m).
Xét tam giác \(OBC\)có: \(\widehat {OBC} = 90^\circ - \widehat {OBH} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {OCB} = 180^\circ - 60^\circ - 65^\circ = 55^\circ \).
Áp dụng định lý sin ta có:
\(\frac{{OB}}{{\sin \widehat {OCB}}} = \frac{{CB}}{{\sin \widehat {COB}}} \Rightarrow \frac{{20,4}}{{\sin 55^\circ }} = \frac{{CB}}{{\sin 60^\circ }} \Rightarrow CB = \frac{{20,4 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 21,57\) (m)
Vậy chiều cao của cây khoảng 21,57 m.