Từ vị trí A , người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết AH = 5 m , HB = 25 m , ˆ BAC = 45 ∘ . Tính chiều cao BC của cây.

Ta mô phỏng bài toán như sau:

Vì tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {25^2} = 650\)

Suy ra \(AB = 5\sqrt {26} \).

Lại có: \(\cos \widehat {HAB} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{5\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\), suy ra \(\widehat {HAB} \approx 79^\circ \).

Ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC} = 79^\circ + 45^\circ = 124^\circ \).

Tứ giác \(AHBC\) có: \(\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {ACB} + \widehat {HBC} = 360^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 360^\circ - \left( {\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {HBC}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 124^\circ + 90^\circ } \right) = 56^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{5\sqrt {26} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 21,75\).

Vậy chiều cao \(BC\) của cây xấp xỉ 21,75 m.