Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m , HB = 20 m , ˆ BAC = 45 ∘ . Tính chiều cao của cây.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHB\), ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {4^2} + {20^2} = 416 \Rightarrow AB = \sqrt {416} \) (m).

Lại có: \(\sin \widehat {HAB} = \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{20}}{{\sqrt {416} }} \Rightarrow \widehat {HAB} \approx 79^\circ \)(do góc này nhọn).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {HAB} \approx 79^\circ \) (do cùng phụ với góc \(ABH\)).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {ABC}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 79^\circ } \right) = 56^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{CB}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).

\( \Rightarrow CB = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {416} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 17,4\).

Vậy cây cao khoảng 17,24 m.