Từ vị trí A của một công viên có dạng hình vuông ABCD cạnh a ( km ) , hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vặn tốc không đổi dọc theo các cạnh cùa hình vuông và theo hai hướ

Từ vị trí \(A\) của một công viên có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\,\,{\rm{(km}})\), hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vặn tốc không đổi dọc theo các cạnh cùa hình vuông và theo hai hướng khác nhau. Biết rằng, hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí \(E\) cách \(A\) một khoảng bằng 1 km và gặp lại nhau là̀n thứ hai tại vị trí \(F\) cách \(A\) một khoảng bằng \(0,4{\rm{\;km}}\) như hình vẽ. Gọi \(x,\,\,y\,\,\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right)\) lần lượt là vận tốc cùa Hòa và Bình.

Chứng minh rằng \(\frac{x}{y} = \frac{{AB + BC + CE}}{{AD + DE}}\).

Ta có \(\Delta ADE\) vuông tại D nên

\(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} = \sqrt {1 - {a^2}} \);\[CE = DC - DE = a - \sqrt {1 - {a^2}} .\]

Tại lần gặp nhau đầu tiên bạn Bình đi được quăng đường là \(AD + DE = a + \sqrt {1 - {a^2}} .\) Hoà đi được quãng đường là \(AB + BC + EC = a + a + a - \sqrt {1 - {a^2}} = 3a - \sqrt {1 - {a^2}} \).

Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quâng đường đi của Hoà và Bình ti lệ thuận với vận tốc đi tương ưng của hai bạn.

Khi dó \(\frac{x}{y} = \frac{{AB + BC + CE}}{{AC + DE}} = \frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} }}{{a + \sqrt {1 - {a^2}} }}\).

Tìm giá trị của a

Tại lần gặp thứ hai ở F thì

• Bình đi quãng đường là \(AD + DC + BC + BF = 4a - 0,4.\)

• Hoà đi quãng đường là \(AB + BC + CD + DA + AF = 4a + 0,4\).

Khi đó \(\frac{x}{y} = \frac{{4a + 0,4}}{{4a - 0,4}}\).

Khi đó ta có phương trình \(\frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} }}{{a + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \frac{{4a + 0,4}}{{4a - 0,4}}\).

Suy ra \(\frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a + 0,4}} = \frac{{a + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a - 0,4}}\)

Do \(a > 0\) nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a + 0,4}} = \frac{{a + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a - 0,4}} = \frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} + a + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a + 0,4 + 4a - 0,4}} = \frac{{4a}}{{8a}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\frac{{3a - \sqrt {1 - {a^2}} }}{{4a + 0,4}} = \frac{1}{2}\)

  \(2\left( {3a - \sqrt {1 - {a^2}} } \right) = 4a + 0,4\)

                 \(6a - 2\sqrt {1 - {a^2}} = 4a + 0,4\)

                         \(2a - 0,4 = 2\sqrt {1 - {a^2}} \)

                              \(\sqrt {1 - {a^2}} = a - 0,2\)

Suy ra \(1 - {a^2} = {(a - 0,2)^2}\) (với \(a > 0,2\))

                     \(1 - {a^2} = {a^2} - 0,4a + 0,04\)

                                \(2{a^2} - 0,4a - 0,96 = 0\)

Giải phương trình ta được \(a = 0,8\) (thoả mãn) hoặc \(a = - 0,6\) (không thoả mãn).

Vậy \(a = 0,8{\rm{\;km}}\)