Từ tập A = { 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 49 ; 50 } gồm 50 số tự nhiên liên tiếp, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi T là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng

Đáp án: 8,5

Ta có

\(A < {b_1} < B < {c_1} < {c_2} < C < {d_1} < {d_2} < {d_3} < D < {e_1} < {e_2} < {e_3} < {e_4} < E < {f_1} < {f_2} < {f_3} < {f_4} < {f_5} < F\)

Gọi d là công sai của cấp số cộng, chọn \(A = {u_1} \ge 1\), vậy \(F = {u_1} + 5d \le 50 \Rightarrow {u_1} \le 50 - 5d\)

Vì \(F - E \ge 6 \Rightarrow d \ge 6\)

Vậy \(1 \le {u_1} \le 50 - 30 = 20\)

Từ \({u_1} + 5d \le 50 \Leftrightarrow d \le \frac{{50 - {u_1}}}{5} \Rightarrow d \le \frac{{50 - 1}}{5} = 9,8\)\( \Rightarrow 6 \le d \le 9,8\), vậy \(d \in \left\{ {6,\,7,\,8,\,9} \right\}\)

TH1: \(d = 6\) \( \Rightarrow {u_1} \le 20 \Rightarrow \) có 20 cách chọn \({u_1}\)

Giữa \(A\) và \(B\) có 5 số, chọn 1 số trong 5 số: \(C_5^1\)

Giữa \(B\) và \(C\) có 5 số, chọn 2 số trong 5 số: \(C_5^2\)

Giữa \(C\) và \(D\) có 5 số, chọn 3 số trong 5 số: \(C_5^3\)

Giữa \(D\) và \(E\) có 5 số, chọn 4 số trong 5 số: \(C_5^4\)

Giữa \(E\) và \(F\) có 5 số, chọn 5 số trong 5 số: \(C_5^5\)

Vậy \({T_1} = 20 \times C_5^1 \times C_5^2 \times C_5^3 \times C_5^4 \times C_5^5 = 50000\)

Các trường hợp khác tương tự

TH2: \(d = 7\)\( \Rightarrow {u_1} \le 15 \Rightarrow \)có 15 cách chọn \({u_1}\)

Vậy \({T_2} = 15 \times C_6^1 \times C_6^2 \times C_6^3 \times C_6^4 \times C_6^5 = 2430000\)

TH2: \(d = 8\)\( \Rightarrow {u_1} \le 10 \Rightarrow \)có 10 cách chọn \({u_1}\)

Vậy \({T_3} = 10 \times C_7^1 \times C_7^2 \times C_7^3 \times C_7^4 \times C_7^5 = 37815750\)

TH2: \(d = 9\)\( \Rightarrow {u_1} \le 5 \Rightarrow \)có 5 cách chọn \({u_1}\)

Vậy \({T_4} = 5 \times C_8^1 \times C_8^2 \times C_8^3 \times C_8^4 \times C_8^5 = 245862400\)

Khi đó \(T = 286158150\)\( \Rightarrow \log (T) \approx 8,5\).