Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều cạnh 4 √ 3 d m , bạn An cắt bỏ sáu tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình lục giác đều

ường tròn ngoại tiếp lục giác đều \(ABCDEF\) có bán kính \(R = 4\sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(OH = \frac{{\left( {4\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 }}{2} = 6\).

Đặt \(R' = x\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác nhỏ  \(A'B'C'D'E'F'\), suy ra 

\(A'H = OH - OA' = 6 - x\) và cạnh bên của chóp là \(A'A = \sqrt {A'{H^2} + H{A^2}}  = \sqrt {{x^2} - 12x + 48} \)

Diện tích đáy của khối chóp là \(S = 6.{S_{\Delta OA'B'}} = 6.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 3.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Và chiều cao \(h = \sqrt {A'{A^2} - O{{A'}^2}}  = \sqrt { - 12x + 48} \), \(\left( {0 < x < 4} \right)\)

Suy ra  \(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {x^2}}}{2}.\sqrt { - 12x + 48}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt { - 12{x^5} + 48{x^4}} \)

                 Dễ thấy hàm số \(f\left( x \right) =  - 12{x^5} + 48{x^4}\;\left( {0 < x < 4} \right)\) đạt cực đại \(x = \frac{{16}}{5}\).

                 Suy ra thể tích lớn nhất là \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\left( {\frac{{16}}{5}} \right)^2}.\sqrt { - 12\left( {\frac{{16}}{5}} \right) + 48}  = \frac{{1536\sqrt 5 }}{{125}}\;d{m^3}\)

Do đó \[a + 2b + 3c = 1536 + 2.5 + 3.125 = 1921\].