Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng 10, bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, t
22/22
Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng \(10\), bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình vẽ). Để thể tích khối chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
Đáp án: 156
Đặt \(AB = x\)(\(0 < x < 10\)).
Ta có : \(SO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).
Suy ra \(SH = SO - OH = 5\sqrt 3 - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).
Chiều cao khối chóp \(h = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3 - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {75 - 15x} \).
Thể tích khối chóp là : \(V = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {75 - 15x} \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {75{x^4} - 15{x^5}} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 75{x^4} - 15{x^5}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 300{x^3} - 75{x^4} = 75{x^3}\left( {4 - x} \right)\).
Ta có: \(f'{\kern 1pt} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).
Vậy thể tích lớn nhất khi cạnh \(AB = 4\) suy ra diện tích bạn Hoa cắt đi là
\(S = 6\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} - 6\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {5\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right) = 155,88\).