Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp

Gọi \(x(\;{\rm{cm}})\) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện: \(0 < x < 30\). Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x(\;{\rm{cm}})\) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \((60 - 2x)({\rm{cm}})\) và chiều cao bằng \(x(\;{\rm{cm}})\).

Thể tích của chiếc hộp này là: \(V(x) = {(60 - 2x)^2} \cdot x = 4{x^3} - 240{x^2} + 3600x\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Ta có: \({V^\prime }(x) = 12{x^2} - 480x + 3600;{V^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 40x + 300 = 0 \Leftrightarrow x = 10\) (thoả mãn điều kiện) hoặc \(x = 30\) (loại).

Lập bảng biến thiên:

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\;{\rm{cm}}\).