Từ một quả cầu bằng đá trắng bán kính bằng 1 dm người ta khoan rút lõi ngay “chính giữa” quả cầu (trục đối xứng của lõi và quả cầu trùng nhau) như hình minh họa, đường kính lõi là 1 dm .

Đáp án: 2,72.

Gọi \(O\) là tâm quả cầu

Gọi \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao giữa hình trụ và hình cầu, \(M\) là một điểm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Ta có \(OM = R = 1\,{\rm{dm}}\), \(IM = \frac{1}{2}\,{\rm{dm}}\) do đó \(OI = \sqrt {O{M^2} - I{M^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\).

Ta suy ra chiều cao chỏm cầu đỉnh \(A\) là \(h = IA = OA - OI = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

Ta có thể tích hình trụ bán kính \(OH = IM = \frac{1}{2}\,{\rm{dm}}\) là

\({V_1} = \pi .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.2OI = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{4}\) \(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

Thể tích chỏm cầu đỉnh \(A\), chiều cao \(h = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\) là \(\pi .{h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi .{\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\left( {1 - \frac{{2 - \sqrt 3 }}{6}} \right)\)

Thể tích vật thể lõi là \({V_2} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{4} + 2.\pi .{\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.\left( {1 - \frac{{2 - \sqrt 3 }}{6}} \right)\)\( \approx 1,49\) \[\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Thể tích khối cầu là \({V_c} = \frac{4}{3}\pi {.1^3} = \frac{4}{3}\pi \) \[\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Thể tích còn lại của khối cầu là \(V = {V_c} - {V_2} \approx 2,72\) \(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).