Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R = 4 cm, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình vẽ). Diện tích lớn nhất của miếng tôn hình chữ nhật bằng bao nhiêu xăng ti mét vuông?

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( {m,0 < x \le 4} \right)\).

Chiều dài của hình chữ nhật là \(2y\left( {m,y > 0} \right)\).

Xét \(\Delta ONP\) vuông tại \[P\] ta có

\({x^2} + {y^2} = 16\)

Suy ra \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\({S_{MNPQ}} = x \cdot 2 \cdot \sqrt {16 - {x^2}}  = 2 \cdot x \cdot \sqrt {16 - {x^2}} .\)

Áp dụng BĐT Cauchuy, ta có:

\(S \le 2 \cdot \frac{{{x^2} + 16 - {x^2}}}{2} = 16\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt {16 - {x^2}} \)

Nên \[{x^2} = 16 - {x^2}\]

Suy ra \(x = 2\sqrt 2 \)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 16 (đvdt).