Từ một miếng tôn dạng nửa hình tròn có bán kính R = 4dm

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là \(MNPQ\) có \(OP = x\)\[\left( {0 < x < 4} \right)\], \(ON = 4\).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \[S = MN \cdot NP\]\[ = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \]trên \[\left( {0;\,4} \right)\].

Ta có \(f'\left( x \right) = 2\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)\( = \frac{{ - 4{x^2} + 32}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \in \left( {0;\,4} \right)\\x = - 2\sqrt 2 \notin \left( {0;\,4} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\,4} \right)} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 16\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là \(16\,{\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: 16.