Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là 0,9 m và 1,5 m như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám đen và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Tìm x để hình hộp

Quan sát hình vẽ trải phẳng của hình hộp chữ nhật:

Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là \(0,9{\rm{\;m}}\). Theo trục dọc, tấm bìa được chia thành các phần gồm: 3 đoạn có độ dài bằng nhau là chiều rộng/chiều cao và 2 đoạn cắt góc \(x\). Nhìn vào sơ đồ: chiều dọc \(0,9{\rm{\;m}}\) gồm có 2 ô vuông cạnh \(x\) ở hai góc kẹp giữa một cạnh của hình hộp. Đoạn ở giữa là các mặt hình hộp.

Cụ thể, chiều rộng miếng bìa được chia thành: \(x\) + (chiều rộng đáy) + \(x = 0,9 \Rightarrow \) Chiều rộng đáy hộp là \(0,9 - 2x\).

Chiều dài của tấm bìa ban đầu là \(1,5{\rm{\;m}}\). Theo trục ngang, miếng bìa được xếp thành 4 mặt bên tuần hoàn của hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao là \(x\). Cấu trúc gồm 4 đoạn gấp lại thành chu vi đáy: 2 lần chiều dài đáy và 2 lần chiều rộng đáy.

Do đó: 2 × (chiều dài đáy + chiều rộng đáy) = 1,5.

Biết chiều rộng đáy là \(0,9 - 2x\), ta tìm được chiều dài đáy bằng \(0,75 - \left( {0,9 - 2x} \right) = 2x - 0,15\).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là \(x\).

Điều kiện của \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{0,9 - 2x > 0}\\{2x - 0,15 > 0}\end{array} \Rightarrow 0,075 < x < 0,45} \right.\).

Thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là:

\(V\left( x \right) = \left( {2x - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2x} \right)x\)\( = \left( { - 4{x^2} + 2,1x - 0,135} \right)x = - 4{x^3} + 2,1{x^2} - 0,135x\).

Tìm \(x\) để \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng cách lấy đạo hàm:

\(V'\left( x \right) = - 12{x^2} + 4,2x - 0,135\).

Cho \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 4,2x - 0,135 = 0\).

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: \({x_1} = 0,225\) và \({x_2} = 0,12\).

So sánh giá trị hoặc lập bảng biến thiên:

Với \(x = 0,12\): \(V\left( {0,12} \right) = \left( {2 \cdot 0,12 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,12} \right) \cdot 0,12 = 0,09 \cdot 0,66 \cdot 0,12 = 0,007128{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Với \(x = 0,225\): \(V\left( {0,225} \right) = \left( {2 \cdot 0,225 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,225} \right) \cdot 0,225 = 0,3 \cdot 0,45 \cdot 0,225 = 0,030375{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Vì \(V\left( {0,225} \right) > V\left( {0,12} \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0,225{\rm{\;m}}\).

Đáp số: 0,225.